코시 곱

미적분학에서, 두 급수의 코시 곱(영어: Cauchy product)은 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나다. 두 급수의 합성곱을 항으로 한다.

정의

두 복소수 항 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ 및 $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$의 코시 곱은 다음과 같은 급수다.

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}&=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{0})\\&=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\cdots \end{aligned}}$

두 급수의 항의 곱을 무한한 행렬

${\begin{matrix}a_{0}b_{0}&a_{0}b_{1}&a_{0}b_{2}&\cdots \\a_{1}b_{0}&a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots \\a_{2}b_{0}&a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots \end{matrix}}$

위에 배열하였을 때, 코시 곱의 $n$번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) $n$번째 대각선 성분들의 합이다.

성질

합

만약 두 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$, $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$와 코시 곱 $\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.^{:321, Theorem of Abel}

$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

이는 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있으며, 닐스 헨리크 아벨이 처음 증명하였다.

수렴할 충분조건

메르텐스 정리(영어: Mertens' theorem)에 따르면, 임의의 두 수렴급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$, $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴한다면, 코시 곱은 수렴한다.^{:321, Theorem of Mertens}

증명:

편의상 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$이 절대 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이 쓰자.

$A_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\;B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},\;C_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k},\;c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}$

$A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\;B=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}C_{n}&=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+\cdots +(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{0})\\&=a_{0}B_{n}+a_{1}B_{n-1}+\cdots +a_{n}B_{0}\\&=a_{0}B+a_{1}B+\cdots +a_{n}B+a_{0}(B_{n}-B)+a_{1}(B_{n-1}-B)+\cdots +a_{n}(B_{0}-B)\\&=A_{n}B+a_{0}(B_{n}-B)+a_{1}(B_{n-1}-B)+\cdots +a_{n}(B_{0}-B)\end{aligned}}$

정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 $A',M\geq 0$은 유한한 수이다.

$A'=\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$

$M=\sup\{|B_{0}-B|,|B_{1}-B|,\dots \}$

임의의 $\epsilon >0$을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $n'\in \{0,1,\dots \}$이 존재한다.

• 모든 $n\in \{n'+1,n'+2,\dots \}$에 대하여, $|B_{n}-B|<{\frac {\epsilon }{2(A'+1)}}$
• 모든 $n\in \{n'+1,n'+2,\dots \}$에 대하여, $\sum _{k=n}^{\infty }|a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2(M+1)}}$

따라서, 모든 $n\in \{2n'+1,2n'+2,\dots \}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}|C_{n}-A_{n}B|&\leq |a_{0}||B_{n}-B|+\cdots +|a_{n'}||B_{n-n'}-B|+|a_{n'+1}||B_{n-n'-1}-B|+\cdots +|a_{n}||B_{0}-B|\\&\leq {\frac {\epsilon }{2(A'+1)}}\sum _{k=0}^{n'}|a_{k}|+M\sum _{k=n'+1}^{n}|a_{k}|\\&<\epsilon \end{aligned}}$

즉, $C_{n}$은 $AB$로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다.

절대 수렴할 충분조건

임의의 두 절대 수렴 급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$, $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ 및 임의의 전단사 함수 $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \times \mathbb {N}$에 대하여, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma _{1}(n)}b_{\sigma _{2}(n)}$

는 절대 수렴하며,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma _{1}(n)}b_{\sigma _{2}(n)}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

이다. 특히, 두 절대 수렴 급수의 코시 곱은 절대 수렴한다.

예

두 복소수 계수 멱급수 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ 및 $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}$의 코시 곱

$\sum _{n=0}^{\infty }(x-a)^{n}\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}$

은 통상적인 곱과 일치한다.

코시 곱이 발산하는 두 수렴급수

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수의 스스로와의 코시 곱

$\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}$

을 생각하자. 임의의 $n\in \{2,3,4,\dots \}$에 대하여,

$c_{n}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {k(n-k)}}}$

이므로

${\begin{aligned}|c_{n}|&=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {k(n-k)}}}\\&\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2}{n}}\\&={\frac {2(n-1)}{n}}\\&\geq 1\end{aligned}}$

이다. 따라서, 코시 곱은 발산한다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Absolutely convergent series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cauchy product”. 《PlanetMath》 (영어).